Question

对于函数，，，如果存在实数使得，那么称为，的线性组合函数．如对于，，，存在，使得，此时就是，的线性组合函数．

（1）设，，，试判断是否为，的线性组合函数？并说明理由；

（2）设，，，线性组合函数为，若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）设，，取，线性组合函数使恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）不是，的线性组合函数；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）设，这是恒等式，如能求得值，结论是肯定的，如不能求得实解，说明结论是否定的；（2）具体地写出函数，，当时，，而不等式在上有解，则在上有解，

只需小于（）的最大值，下面只要求最大值即可；（3）问题实质上是不等式恒成立，求的范围，只要求得的最小值，然后解不等式即得．

试题解析：（1）设，

即，

则，此方程组无解．

所以不存在实数，使得，

所以不是，的线性组合函数．

（2）因为，

若不等式在上有解，

则在上有解，

只需小于（）的最大值．

令，因为，所以．

则，．

当时，，所以，

故的取值范围为．

（3）由题意，

①若，则在上递减，在上递增．

所以．

由，解得；

②若，即，则在上递增，

所以，此时恒成立．

③若，则在上递减，所以，，因为，此时无解．

综上的取值范围是．

考点：新定义，不等式恒成立，函数的最值．