Question

选修4－1：几何证明选讲

如图，是⊙的直径，.

（Ⅰ）求证：是⊙的切线；

（Ⅱ）设与⊙的公共点为，点到的距离为，求的值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）易知为切线，然后由题中的垂直关系证得∽，从而推出∽，进而使问题得证；（Ⅱ）若，显然可得；若，不妨设，过作交于，过作交于，交于，从而由平行线分线段成比例求值．

试题解析：（Ⅰ）证明：由题可知为⊙的切线.

∵，∴；∵，∴；

∴，∴∽，∴，

又∵，∴，∴∽，∴，

∴是的平分线，∴圆心到的距离等于半径，∴是⊙的切线.

（Ⅱ）若，显然可得.

若，不妨设.

过作交于，过作交于，交于.

由（Ⅰ）可得，在中，

有，即，化简得.

综上：.

考点：1、切线的性质；2、三角形相似．