Question

设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．

（1）已知函数f（x）=x²﹣x+1，x∈B，x=g（t）=log₂t，t∈C．

1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）

2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；

（2）设f（x）=log₂x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．

Answer

（1）或．

（2）或．

【解析】

试题分析：（1）根据等值域变换的定义，分别进行推导判断即可．

（2）利用f（x）的定义域，求得值域，根据x的表达式，和t值域建立不等式，利用存在t1，t2∈R使两个等号分别成立，求得m和n．

【解析】
1°f（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+≥，即函数f（x）的值域为[，+∞），

①C=（1，+∞）时，g（t）∈（0，+∞），f（g（t））=（g（t））2﹣g（t）+1=（g（t）﹣）2+≥，

即函数f（g（t））的值域为[，+∞），即x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换

②B=R，C=（2，+∞）时，g（t）∈（1，+∞），f（g（t））=（g（t））2﹣g（t）+1=（g（t）﹣）2+＞1′，

即函数f（g（t））的值域为（1，+∞），即x=g（t）不是函数y=f（x）的一个等值域变换，

故①是等值域变换，②不等值域变换

2°B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），f（x）的值域为[，13]，x=g（t）的值域是[log2a，log2b]

当f（x）=13时，x=﹣3或4，结合图象可知，若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，

则或，

解得或，

故若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，则a，b满足的条件是：

或．

（2）f（x）=log2x定义域为[2，8]，由y=log2x，知1≤y≤3，

即f（x）=log2x的值域为[1，3]，

因为x=g（t）是y=f（x）的一个等值域变换，且函数f（g（t））的定义域为R，

所以x=g（t）=，t∈R的值域为[2，8]，

则2≤≤8，

∴2（t2+1）≤mt2﹣3t+n≤8（t2+1），

所以，恒有，

且存在t1，t2∈R使两个等号分别成立，

于是，

解得或．

考点：函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域．