Question

已知函数f（x）=a^x+x²﹣xlna，a＞1．

（1）求证函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（2）若函数y=|f（x）﹣b+|﹣3有四个零点，求b的取值范围；

（3）若对于任意的x∈[﹣1，1]时，都有f（x）≤e²﹣1恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）b的取值范围是（2﹣，0）∪（2+，+∞）；（3）a的取值范围是（1，e2]

【解析】

试题分析：（1）求导函数，即可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

（2）先判断函数f（x）的极小值，再由函数有四个零点，进行等价转化方程有解问题，去掉绝对值，变成两个方程，即可解出b的范围；

（3）求出f（x）的最大值，要使f（x）≤e2﹣1恒成立，只需a﹣ln a≤e2﹣2即可，从而求出a的取值范围．

（1）证明∵f（x）=ax+x2﹣xln a，

∴f′（x）=ax•ln a+2x﹣ln a=（ax﹣1）ln a+2x．…（2分）

∵a＞1，x＞0，∴ax﹣1＞0，ln a＞0，2x＞0，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，

即函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增…（4分）

（2）【解析】
由（1）知当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．

∴f（x）取得最小值为f（0）=1…（5分）

由|f（x）﹣b+|﹣3=0，得f（x）=b﹣+3或f（x）=b﹣﹣3，

∴要使函数y=|f（x）﹣b+|﹣3有四个零点，只需…（7分）

即b﹣＞4，即＞0，解得b＞2+或2﹣＜b＜0．

故b的取值范围是（2﹣，0）∪（2+，+∞） …（8分）

（3）【解析】
由（1）知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

f（﹣1）=+1+ln a，f（1）=a+1﹣ln a，∴f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2ln a

令H（x）=x﹣﹣2ln x（x＞0），则H′（x）=1+﹣==＞0，

∴H（x）在（0，+∞）上单调递增．∵a＞1，∴H（a）＞H（1）=0．

∴f（1）＞f（﹣1）

∴|f（x）|的最大值为 f（1）=a+1﹣ln a，…（12分）

∴要使f（x）≤e2﹣1恒成立，只需a﹣ln a≤e2﹣2即可

令h（a）=a﹣ln a（a＞1），h′（a）=1﹣＞0，∴h（a）在（1，+∞）上单调递增．

∵h（e2）=e2﹣2，∴只需h（a）≤h（e2），即1＜a≤e2．

故a的取值范围是（1，e2]…（14分）

考点：函数恒成立问题；函数零点的判定定理．