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已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值. (Ⅰ)确定a的值; ...

已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=满分5 manfen5.com处取得极值.

)确定a的值;

)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.

 

(Ⅰ)a=;(Ⅱ)g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)内为减函数,在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)内为增函数. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求导数,利用f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值,可得f′(﹣)=0,即可确定a的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)得g(x)=(x3+x2)ex,利用导数的正负可得g(x)的单调性. 【解析】 (Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x. ∵f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值, ∴f′(﹣)=0, ∴3a•+2•(﹣)=0, ∴a=; (Ⅱ)由(Ⅰ)得g(x)=(x3+x2)ex, ∴g′(x)=(x2+2x)ex+(x3+x2)ex=x(x+1)(x+4)ex, 令g′(x)=0,解得x=0,x=﹣1或x=﹣4, 当x<﹣4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数; 当﹣4<x<﹣1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数; 当﹣1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数; 当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数; 综上知g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)内为减函数,在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)内为增函数. 考点:函数在某点取得极值的条件.  
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考点分析:
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