Question

已知函数f（x）=（c为常数），且f（1）=0．

（1）求c的值；

（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；

（3）已知函数g（x）=f（e^x），判断函数g（x）的奇偶性．

Answer

（1）1；（2）见解析；（3）g（x）为奇函数．

【解析】

试题分析：（1）根据f（1）==0，解得c=1；

（2）运用单调性定义证明；

（3）运用奇偶性定义证明．

【解析】
（1）因为f（1）==0，所以c=1，即c的值为1；

（2）f（x）==1﹣，在[0，2]单调递增，证明如下：

任取x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（1﹣）﹣（1﹣）

=2[﹣]=2•＜0，

即f（x1）＜f（x2），

所以，f（x）在[0，2]单调递增；

（3）g（x）=f（ex）=，定义域为R，

g（﹣x）===﹣=﹣g（x），

所以，g（x）为奇函数．

考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．