Question

已知函数f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x，x∈R． 求：

（1）f（）的值；

（2）函数f（x）的最小值及相应x值；

（3）函数f（x）的递增区间．

Answer

（1）﹣，（2）x=kπ﹣，k∈Z；（3）函数f（x）的递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．

【解析】

试题分析：（1）用三角函数的二倍角公式与和正弦的和差角公式将函数化简，再代值计算即可，

（2）根据化简后的解析式，即可求出最小值和对应的想值，

（3）由（1）的解析式，结合三角函数的单调性求函数的单调区间．

【解析】
f（x）=2sin2x+sinx•cosx+cos2x

=1+sin2x+sinx•cosx=1++sin2x，

=（sin2x﹣cos2x）+=sin（2x﹣）+．…（3分）

（1）f（）=（sin﹣cos）+=﹣，

（2）f（x）的最小值为﹣，此时2x﹣=2kπ﹣，

即x=kπ﹣，k∈Z；…（8分）

（3）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．

∴函数f（x）的递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．…（12分）

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．