Question

如图，椭圆经过点，离心率e=，直线的方程为x=4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线相交于点M，PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃问：是否存在常数，使得k₁+k₂=k₃若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）存在常数λ=2符合题意

【解析】

试题分析：（1）由题意将点代入椭圆的方程，得到，再由离心率为，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）可先设出直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A ，B ，利用根与系数的关系求得，再求点M的坐标，分别表示出．比较k1+k2=k3即可求得参数的值；

试题解析：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得

（a＞b＞0） ①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为

（2）由题意可知AB的斜率存在，则可设直线AB的方程为y=k（x-1）③

代入椭圆方程

并整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=，x1x2=④

在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而k1=，k2=，

k3==k-

注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有=k

所以k1+k2=+=-（）

=2k-×⑤④代入⑤得k1+k2=2k-×=2k-1

又k3=k-，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意

考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的标准方程