Question

某厂生产A产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本万元．当年产量不足80千件时（万元）；当年产量不小于80千件时（万元），每千件产品的售价为万元，该厂生产的产品能全部售完．

（Ⅰ）写出年利润万元关于（千件）的函数关系；

（Ⅱ）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当年产量为100千件时该厂当年的利润最大

【解析】

试题分析：（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案

试题解析：（Ⅰ）由题意可知，当 时，

；

当 时，

，

∴

（Ⅱ）当 时，，

∴时，；

当 时，

．

当且仅当，即时取最大值．

综上所述，当时，．

故当年产量为100千件时该厂当年的利润最大．

考点：函数模型的选择与应用