Question

以椭圆C： 的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”。设椭圆C的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，且满足∣AB∣=2，S_△OAB= S_△OFB

（1） 求椭圆C及其“准圆”的方程；

（2） 对于给定的椭圆C，若点P是射线y=x（x）与椭圆C的“准圆”的交点，是否存在以P为一个顶点的“准圆”的内接矩形，使椭圆C完全落在该矩形所围成的区域内（包括边界）？若存在，请写出作图方法，并予以证明；若不存在，请说明理由。

Answer

（1） 椭圆方程为，椭圆的“准圆”方程为，（2） 存在满足条件的矩形且四边形就是所求的矩形．

【解析】

试题分析：（1）根据面积得到，又，代入得，通过解方程得到椭圆和准圆的方程（2）射线与椭圆的“准圆”交于点，作图方法，过点做直线与椭圆都只有一个公共点，并与“准圆”分别交于点，延长线段交“准圆”于点，连接，四边形就是所求的矩形，再通过设直线与椭圆方程联立，，说明两直线垂直，和通过直径以及对称性说明所做四边形为所求矩形．

试题解析：（1）设椭圆的左焦点，由，得，又，得，且，所以，，则所求的椭圆方程为，椭圆的“准圆”方程为，

（2）射线与椭圆的“准圆”交于点，作图方法，过点做直线与椭圆都只有一个公共点，并与“准圆”分别交于点，延长线段交“准圆”于点，连接，四边形就是所求的矩形

证明，易知过点且与椭圆只有一个交点的直线不垂直与轴，

设直线方程为；联立方程代入消元整理得，

因为只有一个公共点，所以，即直线的斜率为是关于的方程的两个根，所以，得，即．因为点在“准圆”上，所以为“准圆”的直径，得到．同理，由于也是直径，故，，所以四边形为矩形．

因为都与椭圆只有一个公共点，根据对称性（与，与，椭圆，准圆都关于原点对称），得：也都与椭圆只有一个公共点，综上所述，存在满足条件的矩形且四边形就是所求的矩形．

考点：1．椭圆的性质；2．直线与椭圆的位置关系．