Question

已知函数f（x）=ax﹣e^x（a∈R），。

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e^x成立，求a的取值范围

Answer

（1）增区间为（﹣∞，0）减区间为（0，+∞）（2）

【解析】

试题分析：（1），x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；（Ⅱ）由x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，即．设，则问题转化为，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出

试题解析：（Ⅰ）∵f′（x）=1﹣ex，x∈R．

由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）；

由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．

（2）∵x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，则，即a≤．

设h（x）=，则问题转化为a，

由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．

当x在区间（0，+∞）内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：

x

h′（x）

+

0

﹣

h（x）

单调递增

极大值

单调递减

由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．

∴．

考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用导数求闭区间上函数的最值