Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为 ，其左、右焦点分别是F₁，F₂，过点F₁的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF₂的周长为4

（Ⅰ）求椭圆C的方程；    

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足 （O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）+y2=1；（Ⅱ）（﹣2，﹣）∪（，2）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率找出a与b的关系式，再根据△EGF2的周长求出a与b的值，即可确定出椭圆C方程；

（Ⅱ）根据题意得到直线AB斜率存在，设出直线AB方程，以及A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立直线AB解析式与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，根据不等式求出k的范围，进而确定出t的范围．

【解析】
（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率e==，

∴e2===，即a2=2b2，

又△EGF2的周长为4，即4a=4，

∴a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0．

设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，

由△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，得k2＜．

根据韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，

∵+=t，

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

x==，

y==[k（x1+x2）﹣4k]=，

∵点P在椭圆C上，∴16k2=t2（1+2k2），

∵|﹣|＜，∴|x1﹣x2|＜，

∴（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＜，

∴（1+k2）[﹣4•]＜，

∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，

∴k2＞，

∴＜k2＜．

∵16k2=t2（1+2k2），∴t2==8﹣，

又＜1+2k2＜2，∴＜t2=8﹣＜4，

∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2，

∴实数t的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，2）．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．