Question

已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）a=1．（2）[4，+∞）．

【解析】

试题分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值；

（2）由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n﹣1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围．

【解析】
（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，

∴，

解得a﹣3≤x≤3．

再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，

∴a=1．

（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），

∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），

∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，

∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，

∴ymin=4，

由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，

∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．

考点：绝对值不等式的解法．