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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. (Ⅰ)求椭圆C的方程;...

已知椭圆C:满分5 manfen5.com+满分5 manfen5.com=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为满分5 manfen5.com

)求椭圆C的方程;

)设过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,F1为椭圆的左焦点.

(1)若B点关于x轴的对称点是N,证明:直线AN恒过一定点;

(2)试求椭圆C上是否存在点P,使F1APB为平行四边形?若存在,求出F1APB的面积,若不存在,请说明理由.

 

(Ⅰ);(Ⅱ)(1)见解析;(2). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由题意知2b=2,e==,由此能求出椭圆C的方程. (Ⅱ)(1)设过M(2,0)的直线l:y=k(x﹣2),与椭圆联立,得(1+2k2)x﹣8k2x﹣2=0,由此利用根的判别式、韦达定理、点的对称、直线方程等知识结合已知条件能证明直线l过定点(1,0). (2)椭圆左焦点F1(﹣1,0),设AB的中点N(x0,y0),假设存在点P(x3,y3)使F1APB为平行四边形,则N是F1P的中点,由此利用椭圆性质、弦长公式、点到直线距离公式能求出平行四边形F1APB的面积. 【解析】 (Ⅰ)∵椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2, ∴由题意知2b=2,解得b=1, ∵离心率为e==,∴a2=2c2=2a2﹣2b2,解得a=, ∴椭圆C的方程为. 证明:(Ⅱ)(1)设过M(2,0)的直线l:y=k(x﹣2), 联立,得(1+2k2)x﹣8k2x﹣2=0, ∵直线与椭圆交于两点,∴△>0,即0<k2<, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1x2=, ∵B点关于x轴的对称点是N,∴N(x2,﹣y2), 设直线AN:y﹣y1==(x﹣x1), ∵A(x1,y1),B(x2,y2)满足直线l:y=k(x﹣2), ∴y=(x﹣x1)+y1 =x﹣+y1 = =[(x1+x2﹣4)x﹣2(x1x2﹣(x1+x2))] =﹣, ∴直线l过定点(1,0). 【解析】 (2)椭圆左焦点F1(﹣1,0),设AB的中点N(x0,y0), 则=,, 假设存在点P(x3,y3)使F1APB为平行四边形,则N是F1P的中点, ∴x3﹣1=2x0,y3=2y0,即,, ∵P(x3,y3)在椭圆C上,∴=1. 整理,得92k4+44k2﹣1=0,解得或k2=﹣(舍), ∵0≤,∴, 此时,|AB|==, 左焦点F1(﹣1,0)到直线l:y=k(x﹣2)的距离d==, ∴平行四边形F1APB的面积S=2=2×=. 考点:椭圆的简单性质.  
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