Question

已知函数f（x）=ax²﹣x+c（a，c∈R）满足条件f（1）=0，且对任意实数x都有f（x）≥0．

（1）求a、c的值：

（2）是否存在实数m，使函数g（x）=4f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）a=c=；（2）当m=3，函数g（x）=4f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．

【解析】

试题分析：（1）分a=0和a≠0，函数是二次函数，再利用二次函数的性质解决对一切x∈R，都有f（x）≥0；根据f（1）=0结合不等式的性质和基本不等式即可得到；

（2）4f（x）﹣mx=x2﹣2x+1﹣mx=x2﹣（m+2）x+1，该函数图象开口向上，且对称轴为x=m+1，假设存在实数m，使函数g（x）=4f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．根据函数的对称轴与区间的关系，进行分类讨论，运用单调性，解方程，从而可求m的值．

【解析】
（1）当a=0时，f（x）=﹣x+c，

由f（1）=0得﹣+c=0，即c=，

∴f（x）=﹣x+，

显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件f（x）≥0，

∴a≠0，因而函数f（x）=ax2﹣x+c是二次函数，

由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，

由二次函数的性质可得，即，

由此可知 a＞0，c＞0，

∴ac≤（）2，

由f（1）=0，得a+c=，代入上式得ac≤．

但前面已推得ac≥，

∴ac=，

综上解得a=c=，

∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+；

（2）由题意g（x）=4f（x）﹣mx=x2﹣2x+1﹣mx=x2﹣（m+2）x+1，

该函数图象开口向上，且对称轴为x=m+1，

假设存在实数m使函数g（x）=4f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．

①当m＞2时，m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，

∴g（m）=﹣5，

即m2﹣（m+2）m+1=﹣5，解得m=3；

②当﹣2≤m≤2时，m≤m+1＜m+2，函数g（x）在区间[m，m+1]上是递减的，

而在区间[m+1，m+2]上递增，

∴g（m+1）=﹣5，

即（m+1）2﹣（m+2）（m+1）+1=﹣5，

解得m=﹣2±2，与﹣2≤m≤2矛盾，都舍去；

③当m＜﹣2时，m+1＞m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，

∴g（m+2）=﹣5，

即（m+2）2﹣（m+2）（m+2）+1=﹣5，不成立；

综上可得，当m=3，函数g（x）=4f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．

考点：函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．