Question

已知函数f（x）=﹣（a＞0）是定义在R上的奇函数．

（1）求a的值；

（2）设函数g（x）=1﹣，判断g（x）的单调性，并用定义证明你的结论；

（3）当x∈[0，ln4]，求函数h（x）=e^2x+me^ax的最小值．

Answer

（1）a=1；（2）函数f（x）在R上单调递增；（3）函数的最小值为h（x）=．

【解析】

试题分析：（1）由f（0）=0，解出即可；

（2）先求出g（x）的表达式，利用定义证明即可；

（3）先求出h（x）的表达式，通过讨论m的范围，求函数的导数，利用函数单调性和最值之间的关系即可得到结论．

【解析】
（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，即﹣=0，

解得a=1，a=﹣1（舍），

（2）由（1）得：a=1，

∴g（x）=1﹣，是增函数，

设x1＜x2，

∴f（x1）﹣f（x2）

=﹣

=，

由题设可得0＜2x1＜2x2，

∴f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上单调递增；

（3）由（1）得：a=1，∴h（x）=e2x+mex，

∴h′（x）=ex（2ex+m），

①m≥0时，h′（x）＞0，h（x）在[0，ln4]递增，

∴h（x）min=h（0）=1+m；

②m＜0时，令h′（x）=0，解得：x=ln（﹣），

当0＜ln（﹣）≤1即﹣2≤m＜0时，h（x）在[0，ln4]递增，

∴h（x）min=h（0）=1+m，

当0＜ln（﹣）＜ln4即﹣8＜m＜﹣2时，

h（x）在[0，ln（﹣））递减，在（ln（﹣），ln4]递增，

∴h（x）min=h（ln（﹣））

=+m=+m（﹣）=﹣，

当ln（﹣）≥4即m≤﹣8时，h（x）在[0，ln4]递减，

∴h（x）min=h（ln4）=e2ln4+meln4=16+4m．

综上函数的最小值为h（x）=．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．