Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．

（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；

2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎体体积公式求出；

【解析】
（1）∵PA=PD，

∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，

∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，

∴AD⊥平面PQB

又AD⊂平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD；

（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PQ⊥BC，

又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，

∴BC⊥平面PQB，

又PM=3MC，

∴VP﹣QBM=VM﹣PQB=

考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．