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三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为等腰直角三角形,...

三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1平面ABC,ABC为等腰直角三角形,BAC=90°且AB=AA1,D,E,F分别是B1A,CC1,BC的中点.

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(1)求证:DE平面ABC;

(2)求证:B1F平面AEF.

 

见解析 【解析】 试题分析:(1)取AB中点O,连接CO,DO,可证四边形DOCE为平行四边形,从而可得DE∥CO,即可证明DE∥平面ABC. (2)等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点,连接AF,可证AF⊥BC,又三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,可证AF⊥B1F,设AB=AA1=1,由勾股定理可证B1F⊥EF,从而证明B1F⊥平面AEF. 【解析】 (1)证明:取AB中点O,连接CO,DO, ∵DO∥AA1,DO=AA1, ∴DO∥CE,DO=CE, ∴四边形DOCE为平行四边形, ∴DE∥CO,DE⊄平面ABC,CO⊂平面ABC, ∴DE∥平面ABC. (2)证明:等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点,连接AF, ∴AF⊥BC. 又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱, ∴平面ABC⊥平面BB1C1C, ∴AF⊥平面BB1C1C, ∴AF⊥B1F, 设AB=AA1=1, ∴B1F=,EF=,B1E=, ∴B1F2+EF2=B1E2, ∴B1F⊥EF,又AF∩EF=F, ∴B1F⊥平面AEF. 考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.  
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考点分析:
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