Question

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BC﹣C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；

②△ABC是等边三角形；

③AB与CD所成的角90°；

④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是；

其中正确结论是      ．（写出所有正确结论的序号）

Answer

①②④

【解析】

试题分析：假设正方形边长为1，作出直观图，根据面面垂直的性质和正方形的性质进行判断．

【解析】
取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正确．

设折叠前正方形的边长为1，则BD=，∴AE=CE=．

∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC==1．

∴△ABC是等边三角形，故②正确．

取BC中点F，AC中点G，连结EF，FG，EG，则EF∥CD，FG∥AB，

∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角，在△EFG中，EF=CD=，FG=AB=，EG=AC=，

∴△EFG是等边三角形，∴∠EFG=60°，故③错误．

∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE为二面角A﹣BC﹣D的平面角．

∵AE⊥EF，∴tan∠AFE===．故④正确．

故答案为：①②④．

考点：平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．