Question

椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（  ）

A．    B．    C．    D．

Answer

C

【解析】

试题分析：根据题意，设出直线AB的方程，利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点到直线AB的距离等于半焦距，从而可求椭圆的离心率．

【解析】
由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：

即bx+ay﹣ab=0

∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点

∴原点到直线AB的距离为

∴a2b2=c2（a2+b2）

∴a2（a2﹣c2）=c2（2a2﹣c2）

∴a4﹣3a2c2+c4=0

∴e4﹣3e2+1=0

∴

∵0＜e＜1

∴

故选C．

考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．