Question

直线l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知=（ax₁，by₁），=（ax₂，by₂），若⊥且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）△AOB的面积是定值1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆经过点，建立方程组，求得几何量，从而可得椭圆的方程；

（Ⅱ）设l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得方程，从而可求直线l的斜率k的值；

（Ⅲ）分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，利用=0，A在椭圆上，可求△AOB的面积；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得△AOB的面积是定值．

【解析】
（Ⅰ）∵椭圆的离心率，椭圆经过点，∴

∴a=2，b=1

∴椭圆的方程为

（Ⅱ）依题意，设l的方程为

由，∴

显然△＞0，…5分

由已知=0得：

=

=

解得

（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，

∵=0，∴，

∵A在椭圆上，∴，∴，|y1|=

∴S==1；

②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0

△=4k2t2﹣4（k2+4）（t2﹣4）＞0，x1+x2=，x1x2=

∵=0，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0

∴2t2﹣k2=4

∴==1

综上，△AOB的面积是定值1．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．