Question

（2013•建平县校级一模）设函数f（x）=（1+x）²﹣2ln（1+x）

（1）若定义域内存在x₀，使得不等式f（x₀）﹣m≤0成立，求实数m的最小值；

（2）g（x）=f（x）﹣x²﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．

Answer

（1）实数m的最小值是1．（2）2﹣2ln2＜a≤1．

【解析】

试题分析：（1）存在x0，使m≥f（x0）min，故，由此导出f（x0）min=f（0）=1，从而能够求出实数m的最小值．

（2）由g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，知x+1﹣2ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+1﹣2ln（1+x），=，由此利用函数的单调性能够求出a的取值范围．

【解析】
（1）存在x0，使m≥f（x0）min，

∵f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x），

∴

=，x＞﹣1．

令f′（x）＞0，得x＞0，

令f′（x）＜0，得x＜0，

∴y=f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

∴f（x0）min=f（0）=1，

∴m≥1，

∴实数m的最小值是1．

（2）∵g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，

∴g（x）=x+1﹣a﹣2ln（1+x）在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，

∴x+1﹣2ln（1+x）=a有两个交点，

令h（x）=x+1﹣2ln（1+x），

=，

由h′（x）＞0，得x＞1，

由h′（x）＜0，得x＜1，

∴y=f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，

∵h（0）=1﹣2ln1=1，

h（1）=2﹣2ln2，

h（3）=4﹣2ln4，

∴2﹣2ln2＜a≤1．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值．