Question

（2015•开封模拟）如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．

（Ⅰ）求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁体积．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）V三棱柱=2．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；

（Ⅱ）先求得三棱锥B1﹣ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解．

【解析】
（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．

又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，

又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．

（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．

由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．

连接AB1，则=•CO=×AB2•CO=．

∵====，

∴V三棱柱=2．

考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．