Question

已知函数和．

（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，当时，函数在单调递减，不符合题意舍去，当时，由的唯一零点在区间上，即即可求的取值范围；（2）构造函数，则在上恒成立即可，求函数的导数，根据单调性与极值求函数的最小值，使求的取值范围即可．

试题解析：（1）依题意，

①当时，，所以在单调递减，不满足题意；

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

因为函数在区间不单调，所以，解得，

综上所述，实数的取值范围是．

（2）令，

依题可知在上恒成立，

，令，

由且．

①当，即时，

因为，，所以，

所以函数即在上单调递增，又由，

故当时，，所以在上单调递增，

又因为，所以在上恒成立，满足题意；

②当，即时，

当，，函数即单调递减，

又由，所以当时，，

所以在上单调递减，又因为，所以时，，这与题意在上恒成立相矛盾，故舍去．

综上所述，，即实数的最大值是．

考点：1．导数与函数的单调性、极值；2．函数与不等式．