Question

如图，在长方体中，，，点是线段中点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证，只要证平面即可，由长方体的性质可知，面，从而证得，在中利用勾股定理可证，由线面垂直的判定定理可证平面．（2）利用等体积法求之即可，即利用求之即可．

试题解析： （1）证明：面，面

中，，

同理：，又，

所以，面

又面

所以，

（2），，，

又，，，

设点到平面的距离为，则，

解得，即点到平面的距离为．

考点：1．线面垂直的判定与性质；2．等积转换．

【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明线线垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决．