Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对于任意正整数，，不等式恒成立．

Answer

（1） 当时，函数的单调增区间是，，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是；当时，函数的单调增区间是，，单调减区间是．（2） ；（3）见解析．

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，分、、、讨论导函数在相应区间上的符号，即可求出函数的单调区间；（2）因为，显然当时，，此时不是恒成立的，当时，由（1）可知，函数的最小值为，由求出的值即可；（3）当时，由（1）可知，即恒成立，整理得，当时有，令，，，代入得到的不等式相加整理即可．

试题解析：（1），当时，若，则，若，则，故此时函数的单调减区间是，单调增区间是；

当时，所以函数的单调增区间是，，单调减区间是；

当时，，函数的单调增区间是；

当时，同可得，函数的单调增区间是，，单调减区间是．

（2）由于，显然当时，，此时不是恒成立的，

当时，函数在区间的极小值，也就是最小值即是，此时只需即可．解得，故得实数的取值范围是．

（3）当时，，等号当且仅当成立．这个不

等式即，当时，可以变凑为，

在上面不等式中分别令，，，，

所以

考点：1．导数与函数的单调性、极值；2．函数与不等式．