Question

已知点是椭圆上的任意一点，，是它的两个焦点，为坐标原点，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若与坐标轴不垂直的直线交轨迹于，两点且，求面积的取值范围．

Answer

（1） ；（2） ．

【解析】

试题分析：（1）利用向量的坐标运算，用点的坐标表示向量，即求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出点的轨迹方程；（2）先求特殊情况即不存在斜率或斜率为时的三角形面积，当有斜率且不为时，设（），代入椭圆方程求出，同理求出，求出三角形面积的平方的表达式利用函数性质及基本不等式求面积最值即可．

试题解析：（1）动点满足，又，

设，则．

点在椭圆上，则，即

（2）①当斜率不存在或为零时，，

②当斜率存在且不为零时，设（），代入，

得，，．

，以代替，同理可得，

，，

当且仅当时等号成立．而时，与轴或轴垂直，不合题意．

，，．

因此三角形面积的取值范围为．

考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系．

【名师点晴】本题主要考查的是直线方程、椭圆的简单几何性质、椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易失分．解决圆锥曲线中取值范围问题要从以下方面考虑：1．利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式，从而求出相应的参数范围；2．利用已知的参数范围，求新的参数范围，这类问题的核心是建立两个参数间的关系；3．利用隐含的不等关系建立不等式；4．利用已知的不等关系构造不等式；4．利用求函数最值的方法将待求量表示为其它变量的函数，求其值域即可．