Question

如图，中，是的中点，，．将沿折起，使点与图中点重合．

（1）求证：平面；

（2）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；

（3）在（2）条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）存在．

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形的性质可知，折起后，，由线面垂直的判定定理可证结论成立；（2）当平面平面时，三棱锥的体积取最大，过点作于点，连，可证即为二面角的平面角，求的余弦值即可；（3）建立空间直角坐标系，假设存在并设，求出平面的法向量，利用空间向量公式计算即可．

试题解析：（1）且是中点，即，，

又，平面．

（2）在平面内，作于点，则由（1）可知

又，平面，即是三棱锥的高，

又，所以当与重合时，三棱锥的体积最大，

过点作于点，连，由（1）知平面，

又平面，，，平面，

即为二面角的平面角．中，，，，

，故二面角的余弦值为．

（3）存在，且为线段的中点，设，

，又平面的法向量，

，解得（舍去）．

考点：1．直线与平面垂直的判定；2．二面角的定义与求法；3．空间向量的应用．

【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性，它可解决立体几何中的平行、垂直的证明问题，也可解决求解等相关的计算问题．