Question

已知正方形的边长为，、、、分别是边、、、的中点．

（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；

（2）从、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为，求随机变量的分布列与数学期望．

Answer

（1）；（2） 随机变量的分布列为：

【解析】

试题分析：（1）满足条件的点构成的图形为以点圆心，2为半径的圆内部分与正方形的公共部分，求出相应图形的面积除以正方形的面积即可；（2）先求出这八个点任意两点之间的距离的平方，即求出的所有可能值以及相应的个数，算出相应的概率可列概率分布列，再代入期望公式计算即可．

试题解析：（1）这是一个几何概型，点构成的区域是正方形的内部，．满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，．

所以的概率为．

（2）从、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段，其中长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条．

所以所有可能的取值为，，，，，且，，

，，．

所以随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望为

考点：（1）几何概型；2．离散型随机变量的概率分布列与期望．