Question

设，已知函数 ，

（1）证明在区间内单调递减，在区间内单调递增；

（2）设曲线在点处的切线相互平行，且，

证明

Answer

（1）证明见解析；（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）令，．分别求导即可得到其单调性；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．

已知曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得．

不妨，根据以上等式可得，从而．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得．

由，解得，于是可得，通过换元设，已知a∈[﹣2，0]，可得，

故，即可证明．

试题解析：（1）设函数

①，由于，从而当时，

，所以函数在区间内单调递减，

②，由于，

所以当时，；当时，

即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．

综合①，②及，可知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．

（2）由（1）知在区间内单调递减，

在区间内单调递减，在区间内单调递增．

因为曲线在点处的切线相互平行，

从而互不相等，且

不妨设，由

可得，解得，从而 ，

设，则

由，解得

所以，

设，则，因为，所以 ，

故，即．

考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义；导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【名师点睛】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力．

（1）当f（x）不含参数时，可以通过解不等式f ′（x）>0（或f ′（x）<0）直接得到单调递增（或递减）区间．

（2）导数法证明函数f（x）在（a，b）内的单调性的步骤：

①求f ′（x）．

②确认f ′（x）在（a，b）内的符号．

③得出结论：f ′（x）>0时为增函数；f ′（x）<0时为减函数．

（3）如果函数含有参数，那么在解不等式或在确定导数正负时可能要按参数的取舍范围进行分类讨论．