Question

设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．

（Ⅰ）若直线的斜率为，求的离心率；

（Ⅱ） 若直线在轴上的截距为2，且，求

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（Ⅱ）根据直线MN在y轴上的截距为2，记直线与y轴交点为，则可得是的中点，从而有，由|MN|=5|F1N|，即，可建立方程组，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．

试题解析：（Ⅰ）依题意，，将代入椭圆方程得，不妨设，

又，依题意， ，即，

将代入得，即 ，

解得，（舍去），

故的离心率为．

（Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥y轴，

所以直线与y轴的交点为线段的中点，

故，即 ① ，

由得 ．

设，由题意知，则

即 ，

代入的方程，得 ， ②

将①及代入②得 ，

解得，故 ，

综上得，．

考点：圆锥曲线（椭圆）的综合应用．