Question

已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线

（Ⅰ）求的值；       

（Ⅱ）求函数的单调区间及极值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）的递增区间为，递减区间为，极小值为，无极大值．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由曲线在点处的切线垂直于直线可得，可求出的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．

试题解析：（Ⅰ）对求导得，

由在点处的切线垂直于直线，知 ，

解得，所以，的值为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，则 ，

令，解得 或 ，因不在的定义域内，故舍去．

当时， ，故在内为减函数；

当时，，故在内为增函数．

由此知函数在时取得极小值

综上得，的递增区间为，递减区间为，极小值为，无极大值．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性、函数的极值．