Question

已知函数 ，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若函数存在两个相距大于2的极值点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数与函数的图象关于轴对称，且函数在单调递减，在单调递增，试证明：．

Answer

（Ⅰ）的增区间是；减区间为 ；（Ⅱ）或；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）当时，先求出，然后对函数分段进行求导，结合导数即可判断函数的单调性；

（2）先求出当x＜6时h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；

（3）写出g（x）的表达式，实质上只要写出时，的表达式即可，由对称性知，时， ，则x=2，x=n，x=m分别是g′（x）=0的三个根，得出m，n，a的关系，从而证明不等式成立．

试题解析：（Ⅰ）①当时， 此时在上递减 .

②当时，由已知有

∴在上单增，在上单减 .

综上，的增区间是；减区间为 .

（Ⅱ）法1：当

令 ，设其零点为，

由， 解得或

法2：令，得

故，解得，故或

（Ⅲ）

当时， ，

由得，从而

将右边展开，与左边比较系数，得

在上单减

，又

即 ．

考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【名师点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题特难．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．第（Ⅰ）小题是用导数求单调区间的基本题，第（Ⅱ）小题转化为方程有两个相距大于2的根，第（Ⅲ）小题，由对称性求得的解析式，分析后知有三个根2，n，m，从而得出参数之间的关系，最后函数不等式的证明，要利用函数的单调性．