Question

如图，已知椭圆的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆上有一点，直线平行于且与椭圆交于两点，连

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当与轴所构成的三角形是以轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线在轴上截距的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点，由此可求出椭圆方程．

（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可求出m的取值范围是，设MA、MB的斜率分别为，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点

由题意设椭圆方程为：，

法1：，且，则

法2： ，

解得 ，

∴椭圆方程为 .

（Ⅱ）∵∥ ，设直线在轴上的截距为，则直线

直线与椭圆C交于A、B两点 .

的取值范围是： ，

设MA，MB的斜率分别为

设，则

故与轴始终围成等腰三角形时，的取值范围是.

考点：椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题．