Question

已知各项不为零的数列的前项和为，且满足，数列满足，数列的前项和

（Ⅰ）求

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求使关于的不等式有解的充要条件．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）或．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）这类问题，首先令，可解得，当时，利用可得出与关系，本题中得出，说明是等比数列，通项公式易得，于是有，可以看作是一个等差数列与一个等比数列相乘得出的数列，其前项和用错位相减法求得，即写出，乘公比得，两式相减后可求得；（Ⅱ），不等式恒成立，就是小于的最小值，首先求得的最小值为，问题转化为不等式，即有解，只要判别式大于0．

试题解析：（Ⅰ）当时，

当时， ①， ②

①—②得， ，

∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴ ，

③

④

③—④得：

∴ .

（Ⅱ）单调递增 .

由恒成立条件知，即

由关于的不等式有解知，只需，解得或

故关于的不等式有解的充要条件为或 .

考点：已知与的关系求通项，等比数列的通项公式，错位相减法求和，不等式恒成立与不等式有解问题．

【名师点睛】求数列的最小项方法还有：

法一：因为，所以当时，，即数列是递增数列，所以最小．

法二：（作商法），首先有，，显然，所以，所以，即，所以是中的最小值．

法三：如果数列先减后增，则可通过解不等式组，求得数列的最小项．

法四：数列作为特殊的函数，也可以用导数的方法证明相应函数的单调性，从而得数列的单调性（但要注意数列的单调性与函数的单调性可能有一点不一致）．