Question

在如图所示的几何体中， △ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．

（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ABE;

（Ⅱ）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取AB中点G，由题意可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．

（Ⅱ）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．

试题解析：（Ⅰ）证明：取AB中点G，连接FG，CG，∵F为BE中点，∴GF∥AE，GF=AE.

又AE⊥面ABC，CD⊥面ABC， ∴CD∥AE，且CD=AE，∴GF∥CD，GF=CD，

∴平行四边形CDFG，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE平面ABE，

∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB又ABC为正三角形，G为AB中点，∴CG⊥AB.

∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF， ∴DF⊥平面ABE又DF平面DBE，∴平面DBE⊥平面ABE.

（Ⅱ）解法一：取AC中点M，连结BM，DM

ABC为正三角形，M为AC中点，∴BM⊥AC，又AE⊥面ABC，AE面ACDE， ∴面ACDE⊥面ABC， ∴BM⊥平面ACDE， ∴∠BDM为所求的线面角 .

ABC为正三角形且AB=2，，BM=.又CD⊥面ABC，BC平面ABC， ∴CD⊥BC，在RtBCD中，BC=2，CD=1， ∴BD= ， ∴sin∠BDM= ，

∴cos∠BDM= ，

∴直线BD和平面ACDE所成角的余弦值为 .

解法二：由（Ⅰ）可知CG⊥AB，CG⊥GF，GF⊥AB分别以GB、GC、GF为轴建系，则由已知，相关点的坐标为A（-1，0，0），B（1，0，0），C（0，0， ），D（0，1， ），

设面AEDC的法向量 ，

由得令，得平面AED的一个法向量 .设直线BD和平面ACDE所成角为，则 ，∴直线BD和平面ACDE所成角的余弦值 .

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．