Question

已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且，给出以下结论：

①；

②当时，的最小值为 ；

③当时， ；

④当时，记数列的前项和为，则 ．

其中正确的结论有                   （写出所有正确结论的序号）．

Answer

①③④

【解析】

试题分析：点在抛物线上半部分，

，

则

① ，正确；

②，当，即时取等号，

令，因为，所以，显然函数在上单调递增，当然在上也递增，所以 ，错误 .

③令，构造函数，则

，故在是单调递减，

，则，正确 .

④

，

，正确 .

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．

【名师点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于难题和易错题．四个命题要一一验证，命题①，从极端情形入手，取；

命题②，变形得，考虑到基本不等式不能取到等号，因此考虑函数的单调性，这是大家非常熟悉的函数（可根据定义证明其单调性）；命题③，要证，因此构造函数，此函数的单调性必须利用导数的知识才能研究出；命题④，写出，，为了求和（证明不等式），用放缩法把和式中每一项放大为两项的差，从而和易求．这里每个命题的方法不同，对学生的能力要求较高．