Question

已知椭圆的离心率是．

（1）若点在椭圆上，求椭圆的方程；

（2）若存在过点的直线，使点关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先由题意并结合离心率定义可知，，然后由点在椭圆上，进而可求出即可得出椭圆的方程；（2）首先设出直线l的方程为，并且设点C（2,0）关于直线l的对称点为C′（x0，y0），然后由对称性可用表示出，再由C′（x0，y0）在椭圆上即可得到方程，于是可得出，最后运用换元法并结合二次函数在区间上的最值可得的取值范围，进而得出椭圆的焦距的取值范围．

试题解析：（1）因为，所以，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，所以．

（2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为．设点C（2,0）关于直线l的对称点为C′（x0，y0），则，所以．

若点C′（x0，y0）在椭圆上，则，所以，，设，则，，又由已知得椭圆的焦距为，所以，故椭圆的焦距的取值范围是．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交的综合问题．