Question

已知椭圆及直线：．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；   

（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．

Answer

（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．

【解析】

试题分析：（1）直接联立直线与椭圆的方程并消去可得一元二次方程，然后由判别式即可得出所求的答案；（2）首先设出直线被椭圆截得的弦长为，然后由弦长公式计算可得其表达式为，利用二次函数的图像及其性质即可得出其最大值并求出取得最大值时直线的方程即可．

试题解析：（1）由得：，，

若直线与椭圆有公共点，则，实数的取值范围为．

（2）设直线被椭圆截得的弦长为，则

当时，取最大值为，此时直线方程为

考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、二次函数的最值．

【方法点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系、弦长公式和二次函数的最值，考查了学生综合知识的能力和计算能力，属中档题．对于第一问，主要考查了直线与椭圆的位置关系，解决这类问题的方法为联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程，运用判别式大于0，小于0和等于0来分别判断直线与椭圆相交、相离和相切；对于第二问，运用弦长公式并结合二次函数对其进行求解是关键．