Question

定义在R上的单调函数满足，且对任意，都有．

（1）求证为奇函数；

（2）若对任意恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：这是一个抽象函数问题，解题的关键是利用函数的性质．（1）的证明采用赋值法，令代入已知等式可求得，这是为奇函数的必要条件，再取，可得，即，证得函数是奇函数；（2）由于函数的解析式未知，不等式根据（1）题结论变形为，再借助函数的单调性去掉函数符号“”，根据及单调知是增函数，因此有，这个不等式恒成立问题，再用换元法，设，问题转化为一元二次不等式对任意恒成立，由二次函数的性质可求得的范围．

试题解析：（1）证明：已知，

令，得，得

令，得，即，

则，

故为奇函数；

（2）【解析】
因为，是在R上的单调函数，

所以在R上是增函数．

由（1）知，

得

即对任意恒成立．

令，则问题等价于对任意恒成立，

令，对称轴为，

当，即时，，符合题意；

当，即时，要使对任意，恒成立，

只要，解得．

综上所述，k的取值范围为．

考点：抽象函数，函数的奇偶性与单调性，不等式恒成立问题，二次函数的性质，转化与化归思想．

【名师点睛】本题通过抽象函数考查函数的奇偶性与单调性，通过考查不等式恒成立问题考查转化与化归思想，考查二次函数的性质．

（1）解决抽象函数问题，最基本的方法是赋值法，用赋值法求得函数值，得到需要的函数关系式，如本题中；

（2）对函数不等式问题，首先要利用函数的性质（奇偶性、单调性等），把函数符号“”去掉，化为一般的不等式．不等式对任意恒成立，可换元后转化为一元二次不等式恒成立，又可利用二次函数的性质，也可用分离参数法求得结论．