Question

已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的，有，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式．

（2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据条件对于任意的，有，，成等差数列可建立关于公比的方程，求得其值后再由条件可求得首项的值，从而求解；（2）首先利用错位相减可求得，参变分离后可将问题等价转化为，再考查的单调性即可求解．

试题解析：（1）设公比为，∵对任意的，有，，成等差数列，∴令，，，成等差数列，∴，∴，

又∵，∴；（2）∵，，∴，∴，，两式相减，

∴，∴，

若对于恒成立，则，，∴，令，

，∴为在上是减函数，

∴，∴．

考点：1．等比数列的通项公式及其运算；2．错位相减法求数列的和；3．数列的单调性．

【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2．重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3．数学归纳法．