Question

已知数列

（1）若，对于任意，不等式恒成立，求的取值范围

（2）求证：()

Answer

（1）；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可说明数列单调递增，从而要使不等式恒成立，只需成立即可，再利用换底公式即可求解；（2）利用已知条件首先可得到数列的一个递推公式，两边平方后可得累加后可将问题等价转化为证明成立即可，再对不等式左边进行放缩即可的证．

试题解析：（1）由题意得，令，

∴

，即单调递增，∴，故问题等价于

，又∵，，

且，∴的取值范围是；（2）∵，∴，

∴，，……，

，累加得：，

∴，

∴，

要证原不等式成立，只需证：，

，时显然成立，时，左边

，故原不等式成立．

考点：1．数列的单调性；2．换底公式；3．数列与不等式综合题．

【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2．重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3．数学归纳法．