Question

已知函数，．

（1）求函数的单调增区间；

（2）若，解不等式；

（3）若，且对任意，方程在总存在两不相等的实数根，求的取值范围．

Answer

（1）：的单调增区间为，；：的单调增区间为，；：的单调增区间为；（2） ：，

：；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据的取值情况进行分类讨论，将表达式中的绝对值号去掉，再利用二次函数的性质讨论即可求解；（2）利用（1）中求得的单调性，再结合二次函数的图象和性质即可求解；（3）利用二次函数的单调性首先课确定的大致范围，再利根据条件方程在总存在两不相等的实数根，建立关于的不等式组，从而求解．

试题解析：（1）∵，∴，∴：的单调增区间为，；：的单调增区间为，；：的单调增区间为；（2）∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，

若：令解得：

∴不等式的解为：；若：令，

解得：，，根据图象不等式的解为：，综上： ：不等式的解为；：不等式的解为；（3）， ∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，∴，

∴在单调递增，∴，

在单调递减，在单调递增，∴必须，

即，即实数的取值范围是．

考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论的数学思想．

【方法点睛】解决二次函数综合题常见的解题策略有：1．尽可能画图，画图时要关注已知确定的东西，如零点，截距，对称轴，开口方向，判别式等；2．两个变元或以上，学会变换角度抓主元；3．数形结合，务必要保持数形刻画的等价性，不能丢失信息；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练等价转化和准确表述；4．恒成立问题可转化为最值问题．