Question

在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为．

Answer

（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）过作于，根据条件可证明平面，平面，再由面面垂直的的判定即可得证；（2）根据条件可作出二面角的平面角，从而即可建立关于的方程，或建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后亦可建立关于的方程，从而求解．

试题解析：（1）∵平面，平面，平面，

∴，，在梯形中，过点作作于，

在中，，又在中，，

∴， ∵，，，

平面，平面，∴平面，∵平面，

∴，∵，平面，平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面；（2）法一：过点作交于点，过点作于点，连，由（1）可知平面，∴平面，∴，

∵，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，

∴，∵，∴，∵，∴，

∴，由（1）知，∴，又∵，∵，∴，

∴，∵，∴；法二：以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系(如图)

则，，，，令，则

，，∵，∴，

∴，∵平面，∴是平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则 ，即 即 ，

不妨令，得，∵二面角为，

∴，解得， ∵在棱上，∴，故为所求．

考点：1．线面垂直，面面垂直的判定与性质；2．二面角的求解；3．空间向量求二面角．