Question

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且，E为PB的中点．

（1）求证：CE∥平面ADP；

（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；

（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，．

【解析】

试题分析：（1）取棱中点，连接，，证明四边形为平行四边形；（2）易证平面，而，从而平面，问题得证；（3）取中点，连结交于，连结，在平面中由平几得，在上取点，使得，在中，由比例相等得∥，而平面，从而易证出结论．

试题解析：（1）取棱AP中点F，连接DF，EF

为的中位线∥，且∥，且∥，且四边形EFDC为平行四边形，∥DF，∵DF⊂平面ADP，CE平面ADP，∴CE∥平面ADP

（2）由（1）可得∥DF

∵PC＝BC，E为PB的中点 ∴CE⊥PB

∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，AB⊂平面ABCD

∴AB⊥平面PBC 又∵CE⊂平面PBC ∴AB⊥CE

又∵CE⊥PB，AB∩PB＝B，AB,PB⊂平面PBC ∴CE⊥平面PAB

又∵CE∥DF ∴DF⊥平面PAB 又∵DF平面PAD ∴平面PAD⊥平面PAB

或：先证明AB⊥PB，AB＝PB＝2 ∴BF⊥PA，且BF＝，AF＝PF＝，

在梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝2CD＝2，∴AD＝BD＝

再证明PO⊥OD，且PO＝，OD＝ ∴PD＝ ∴PD＝AD＝

∴FD⊥AP，FD＝＝

∴BD2＝FD2＋FB2 ∴BF⊥FD，再证明BF⊥平面PAD．

（3）存在，．

证明：取中点，连结交于，连结，在平面中由平几得，∥为等腰底边上的中点， PBC⊥底面ABCD，平面，平面平面

平面平面平面DMN，平面DMN⊥平面ABC

考点：1、线面平行；2、面面垂直；3、线面垂直；4、平行线分线段成比例．

【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、线面平行、面面垂直和线线平行及平行线分线段成比例，属于难题．解题时一定要注意平面几何知识在立体几何中的应用，本题第三步特别考查了平行线分线段成比例及其逆定理，要注意使用；线面平行一般都要转化成找线线平行，面面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线及两条平行直线中一条和面垂直．