Question

已知函数（）．

（1）判断的奇偶性；

（2）当时，求证：函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数；

（3）若正实数满足，，求的最小值．

Answer

（1）当时函数是偶函数，当时是非奇非偶函数（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）判断函数奇偶性首先看定义域是否对称，在定义域对称的前提下判断

是否成立；（2）证明函数单调性一般采用定义法，首先在定义域上设，比较的大小关系，若则函数为增函数，若则函数为减函数；（3）由已知条件将用实数表示为，结合函数的单调性可求得的最小值

试题解析：（1）由，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

①当时，，

此时函数是偶函数；

②当时，，，

此时且，

所以是非奇非偶函数．

（2）证明：，且，则

，

当时，，，

所以，

即，

所以函数在区间上是单调递减函数；

同理：函数在区间上是单调递增函数．

（3）因，，所以

将代入可得，，

整理得（），

由（2）知函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数，

所以,

此时，，代入原式，检验成立．

考点：1．函数奇偶性；2．函数单调性的判定；3．由单调性求函数最值