Question

已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．

（Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；

（Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求线段长度的最小值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以

，即可点P的坐标；（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：，即，即可得出结论；（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值

试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,所以MP＝，解得

所以

（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP

为直径，

其方程为： 即

由，解得或，所以圆过定点

（Ⅲ）因为圆方程为

即① 圆：，即②

②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为： ，

点M到直线AB的距离

相交弦长即：

当时，AB有最小值

考点：直线和圆的方程的应用