Question

已知函数，．

（1）若在处与直线相切，求a，b的值；

（2）在（1）的条件下，求在上的最大值；

（3）若不等式对所有的，都成立，求a的取值范围．

Answer

（1）；（2）最大值为；（3）．

【解析】

试题分析：（1）已知“在处与直线相切”说明，，联立可解得；（2）要求最大值，首先通过导数研究函数在上的单调性与极值，发现在此区间上只要一个极大值点，它一定是最大值点；（3）本小题不等式恒成立问题，有两个参数，因此要把问题进行转化，不等式对所有的，都成立，即对所有的，都成立，即对所有的，都成立，即对恒成立，即对恒成立，

即a大于等于在区间上的最大值，下面只要求得于在区间上的最大值即可．

试题解析：（1）．

由函数在处与直线相切，得，即．

解得：．

（2）由（1）得：，定义域为．

此时，，令，解得，令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在上的最大值为．

（3）若不等式对所有的，都成立，

即对所有的，都成立，

即对所有的，都成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

即a大于等于在区间上的最大值．

令，则，当时，，单调递增，

所以，的最大值为，即．

所以a的取值范围为．

考点：用导数研究函数在某点处的切线，用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题．

【名师点睛】1．求曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程：（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率．

（2）切线方程为：y＝y0＋f′（x0）（x－x0）．

2．不等式恒成立问题可转化为函数最值，转化为用导数求函数的最值，具体的转化方法是用分离参数法．