Question

设已知函数，．

（1）当时，求函数的最大值的表达式．

（2）是否存在实数，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）分类讨论将中绝对值号去掉，是有两个分段的分段函数，再对的取值进行分类讨论求得每个分段上的单调性或最值即可求解；（2）首先求得第一个分段上的根的情况，再对的取值分类讨论即可求解．

试题解析：（1）∵，∴，

若：，在单调递增，∴；

若：在上单调递增，上单调递增，∴；

若：在上单调递增，上单调递减，上单调递增，

∴ ；

若：在在上单调递增，上单调递减，∴，

综上所述，；（2）函数，

不妨设的3个根为，，，且，，

当时，或，

若：，则，，∴，由，解得，经检验，满足在上有一解；

若：在上有两个不同的解，∴有，是方程的两个解，即，是的两个解，∴，

又∵的3个根为，，成差数列，且，∴

联立方程组或（舍去），

若：最多只有两个解，不满足题意，综上所述，或．

考点：1．函数的最值；2．分类讨论的数学思想；3．函数与方程．