Question

已知抛物线的方程为，点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点，，若直线，分别交直线于，两点，求最小时直线的方程．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据点在抛物线上，即可得到关于的方程，求得的值即可求解；（2）将直线的方程设为，联立抛物线方程消去后可将转化为关于的函数，从而将问题等价转化为求函数最值即可求解．

试题解析：（1）∵点在抛物线上，，即抛物线的方程为；（2）

设，，直线的方程为，由消去，整理得

，∴，，

设直线的方程为，由解得点的横坐标，

又∵，∴，同理点的横坐标，

∴

，令，则，

∴，

当时，，当时，，

即当，时的最小值为，此时直线的方程为．

考点：1．直线与抛物线的位置关系；2．求函数最值．

【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．